Авторами исследована проблема равновесия внутренней трещины, расположенной на биссектрисе упругого прямоугольного сечения, имеющего форму клиновидной области, которая усилена тонким покрытием. Трещина раскрывается под действием нормальных сил, приложенных к ее берегам. Усиливающее воздействие покрытия математически моделируется граничным условием особого вида, использование которого обосновано асимптотическим анализом решения задачи для упругой полосы и подтверждено вычисленными экспериментами. В алгоритме исследования ключевой позицией является применение мультипликативного варианта преобразования Лапласа, преобразования Меллина, которое позволяет осуществить переход от уравнения равновесия к системе обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка и сводит решение задачи к решению сингулярного интегрального уравнения с разностным ядром. Решение сингулярного интегрального уравнения строится методом коллокаций, который позволяет построить искомую функцию раскрытия трещины с учетом знания об ее особенностях вблизи концов трещины. В работе введен безразмерный параметр , определяющий расположение трещины на биссектрисе относительно ее длины. Проанализирована сходимость решения сингулярного интегрального уравнения методом коллокации. Выявлен интервал значений параметра , для которого метод сходится. Достоверность полученных результатов подтверждается вычислениями для ряда известных частных случаев сечения: при отсутствии покрытия; когда форма сечения развернута в полуплоскость и в плоскость с разрезом. В работе исследовано влияние входных параметров задачи: геометрии сечения, физических свойств основного материалов и покрытия на концентрацию напряжений вблизи концов трещины.
The authors have studied the problem of equilibrium of an internal crack located on the bisector of an elastic rectangular cross-section having the shape of a wedge-shaped region, which is reinforced by a thin coating. The crack opens under the action of normal forces applied to its banks. The reinforcing effect of the coating is mathematically modelled by a boundary condition of a special kind, the use of which is justified by the asymptotic analysis of the solution of the problem for an elastic strip and confirmed by computed experiments. The key position in the research algorithm is the application of a multiplicative variant of the Laplace transform, the Mellin transform, which makes it possible to make the transition from the equilibrium equation to the system of ordinary differential equations of the 2nd order and reduces the solution of the problem to the solution of the singular integral equation with a difference kernel. The solution of the singular integral equation is constructed by the collocation method, which allows us to construct the desired crack opening function taking into account the knowledge of its peculiarities near the crack ends. The dimensionless parameter , which determines the location of the crack on the bisector relative to its length, is introduced in the paper. The convergence of the solution of the singular integral equation by the collocation method is analysed. The interval of values of the parameter , for which the method converges, is revealed. The validity of the obtained results is confirmed by calculations for a number of known special cases of cross-section: when there is no covering; when the shape of the cross-section is expanded into a half-plane and into a plane with a cut. The influence of the input parameters of the problem: geometry of the section, physical properties of the base material and coating on the stress concentration near the crack ends is investigated in the paper.